Proposizioni e teoremi
Definizione: Dicesi proposizione una frase alla quale è possibile attribuire uno e un solo valore di verità.
Esempi:
Sono proposizioni le seguenti frasi:
“Tokyo è in Giappone” (proposizione vera)
“Il numero 3 è pari” (proposizione falsa)
Non sono proposizioni le seguenti frasi:
“La mia macchina è molto carina”
“Quella di oggi è una brutta giornata”
La logica che si basa su due valori di verità (vero-falso) prende il nome di logica bivalente o logica aristotelica. Essa si basa sui seguenti principi.
| Principio di non contraddizione | Una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa. |
| Principio del terzo escluso | Una proposizione o è vera oppure è falsa. |
Definizione: La negazione di una proposizione p è quella proposizione che è falsa se p è vera ed è vera se p è falsa.
Esempio: La negazione della proposizione p: “Il quadrato ha tre lati” è la proposizione \(\overline{p}\): “il quadrato non ha tre lati”.
Definizione: Dicesi teorema un’implicazione logica tra due proposizioni p e q in cui, supponendo vera p, mediante dei ragionamenti logici si deduce che anche q è vera, in simboli:
p ⇒ q
e si legge “p implica q” oppure “se p allora q”.
La proposizione p prende il nome di condizione sufficiente (per il verificarsi di q) o ipotesi, mentre la proposizione qprende il nome di condizione necessaria (per il verificarsi di p) o tesi.
Esempio: Il teorema “Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base congruenti” si può esprimere mediante l’implicazione logica “Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti”.
L’ipotesi è “il triangolo è isoscele”, la tesi è “gli angoli alla base sono congruenti”.
Teoremi derivati
Definizioni: Dato un teorema p ⇒ q, diremo:
| teorema inverso | la proposizione q ⇒ p |
| teorema contronominale | la proposizione \( \overline{q} \Rightarrow \overline{p}\) |
| teorema contrario | la proposizione \( \overline{p} \Rightarrow \overline{q} \) |
Osservazione: Il teorema inverso e il teorema contrario non sono sempre dei teoremi veri. Il teorema contro nominale è invece sempre vero.
Esempi: Dato il teorema “Se due angoli sono opposti al vertice allora sono congruenti”, si ha:
- teorema inverso: “Se due angoli sono congruenti allora sono opposti al vertice” (proposizione falsa);
- teorema contro nominale: “Se due angoli non sono congruenti allora non sono opposti al vertice” (proposizione vera);
- teorema contrario: “Se due angoli non sono opposti al vertice allora non sono congruenti” (proposizione falsa).
Definizione: Diremo che p è condizione necessaria e sufficiente per q se valgono sia il teorema diretto che il teorema inverso, cioè se:
\(p \Rightarrow q \wedge q \Rightarrow p\)
Per indicare tale fatto si utilizza la scrittura \(p \Leftrightarrow q\) che si legge “p se e solo se q”.
Esempio: Dato il teorema “Se un triangolo è isoscele allora ha gli angoli alla base congruenti”, si dimostra che anche il teorema inverso “Se un triangolo ha gli angoli alla base congruenti è isoscele” è vero, di conseguenza si ha la seguente condizione necessaria e sufficiente:
“Un triangolo è isoscele se e solo se ha gli angoli alla base congruenti”
Deduzioni
Definizione: Dicesi ragionamento una catena di affermazioni.
Non tutte le affermazioni prodotte nel linguaggio comune sono corrette. Analizziamo i tre ragionamenti in cui la prima implicazione funge da assioma:
1° ragionamento: Se oggi piove, allora esco con l’ombrello.
Oggi piove.
__________________________________
quindi Esco con l’ombrello.
2° ragionamento: Se oggi piove, allora esco con l’ombrello.
Oggi non piove.
__________________________________
quindi Non esco con l’ombrello.
3° ragionamento: Se oggi piove, allora esco con l’ombrello.
Esco con l’ombrello.
__________________________________
quindi Piove.
Dei tre ragionamenti soltanto il primo è corretto! Infatti possiamo effettuare le seguenti considerazioni:
- nel primo ragionamento (corretto) la premessa dell’assioma è vera, di conseguenza è vera anche la conseguenza;
- nel secondo ragionamento (errato) la premessa dell’assioma è falsa, quindi la conseguenza può essere vera o falsa, infatti posso uscire lo stesso con l’ombrello;
- nel terzo ragionamento (errato) la conseguenza dell’assioma è vera, ma non possiamo dire che piove, in quanto posso essere uscito con l’ombrello a prescindere dal fatto che piova o meno.
Poiché la dimostrazione di un teorema deve essere una catena di deduzioni logiche corrette, bisogna stabilire quali regole di deduzione possono essere considerate corrette.
Le due regole di deduzione che si utilizzano nelle dimostrazioni e che ci assicurano dei ragionamenti corretti sono le seguenti:
| Regola del modus ponens (MP) | Se p ⇒ q è una proposizione vera e la premessa p è vera, allora possiamo dedurre che anche la conseguenza q è vera. |
| Regola del modus tollens (MT) | Se p ⇒ q è una proposizione vera e la conseguenza q è falsa, allora possiamo dedurre che anche la premessa p è falsa. |
Forme di dimostrazione
Dimostrazione diretta
Definizione: Dicesi dimostrazione diretta una dimostrazione nella quale si assume come assioma la premessa p dell’implicazione p ⇒ q e si utilizzano delle catene di deduzione per arrivare alla verità di q.
Esempio: Il prodotto di due numeri pari è un numero pari.
Dimostrazione
- Siano x e y due numeri pari.
- Allora esistono due numeri interi h e k tali che x = 2h e y = 2k.
- Effettuiamo il prodotto: xy = (2h)(2k) = 4hk = 2(2hk)
- Quindi il prodotto, essendo un multiplo di due, è pari.
Dal teorema generale al teorema particolare
In matematica, i teoremi hanno valenza generale, ovvero sono relative a proprietà generali di enti matematici e non riguardano singoli oggetti. Per tale ragione nei loro enunciati vengono utilizzati i cosiddetti quantificatori universali (per ogni, comunque scelgo, etc.) ed esistenziali (esiste, esiste ed è unico).
Quando trattiamo con i teoremi generali, per essi vale la seguente regola di deduzione:
| Regola di particolarizzazione | Se una proposizione p è vera per ogni valore della variabile in un dato insieme di definizione, allora la proposizione risulta vera se si sostituisce un valore dell’insieme di definizione al posto della variabile. |
Esempio: Se per ogni \(x \in \mathbb{Z}\) si ha che \(x \cdot 0=0\), allora anche \(5 \cdot 0=0\).
Un’altra regola di deduzione, basata sulla regola di particolarizzazione, è quella che viene detta sillogismo (dal grecoσυλλογισμός, syllogismòs, formato da σύν, syn, “insieme”, e λογισμός, logismòs, “calcolo”: quindi, “ragionamento concatenato“). Lo schema di un sillogismo è il seguente:
ogni x avente la proprietà P ha anche la proprietà Q
un elemento particolare ha la proprietà P
__________________________________________________
quindi l’elemento particolare ha la proprietà Q
Un famoso esempio di sillogismo è il seguente:
L’uomo è mortale
Socrate è un uomo
_______________________
quindi Socrate è mortale
Dimostrazione per assurdo
Definizione: Dicesi dimostrazione per assurdo del teorema p ⇒ q la dimostrazione nella quale si considera come ipotesi la proposizione e si arriva ad una contraddizione tra l’ipotesi p e uno degli assiomi o teoremi noti come veri.
Esempio: Dimostrare che se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti, allora le due rette sono parallele.
Dimostrazione
Hp: \(\alpha = \alpha’\) Th: \(r \parallel s\)
Supponiamo per assurdo che \(r \not \parallel s\) (ovvero consideriamo come ipotesi la proposizione negata della tesi), allora le due rette si incontrano in un punto P. Poiché l’angolo \(\alpha\) è esterno al triangolo ABP, esso, per un noto teorema secondo il quale ogni angolo esterno ad un triangolo è maggiore degli angoli interni ad esso non adiacenti, deve essere maggiore di \(\alpha’\) . Questo è in contraddizione con l’ipotesi secondo la quale i due angoli sono congruenti.
Dimostrazione mediante controesempio
Quando si vuol dimostrare che non tutti gli elementi di un determinato insieme godono di una certa proprietà, basta portare un esempio di elemento dell’insieme che non gode di quella proprietà.
Definizione: Dicesi dimostrazione mediante controesempio della proposizione “Nell’insieme A non vale la proprietà p” una dimostrazione nella quale si individua un elemento dell’insieme A per il quale non vale la proprietà p.
Esempio: Dimostrare che non tutti i numeri interi sono positivi.
Dimostrazione
Basta considerare come controesempio il numero -2 che appartiene all’insieme dei numeri interi ma non è positivo.
