In matematica, una relazione tra due insiemi è un modo per stabilire una connessione tra gli elementi dei due insiemi. In particolare, una relazione è definita come un sottoinsieme del prodotto cartesiano dei due insiemi.
Per comprendere questo concetto, cerchiamo innanzitutto di capire cos’è il prodotto cartesiano. Il prodotto cartesiano di due insiemi, A e B, indicato come A × B, è l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo elemento proviene dall’insieme A e il secondo elemento proviene dall’insieme B.
Ad esempio, consideriamo l’insieme A = {1, 2} e l’insieme B = {a, b, c}. Il prodotto cartesiano A × B è:
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
Ora, una relazione tra A e B è semplicemente un sottoinsieme di questo prodotto cartesiano. Ciò significa che selezioniamo solo alcune coppie ordinate dal prodotto cartesiano.
Ad esempio, definiamo una relazione R tra A e B nel seguente modo: R = {(1, a), (2, c)}. Ciò significa che gli elementi 1 e a, così come 2 e c, sono in relazione tra loro.
In termini più semplici, una relazione tra due insiemi può essere vista come un modo per collegare specifici elementi di un insieme a specifici elementi di un altro insieme in base a una determinata condizione o regola.
Le relazioni possono avere diverse proprietà che possono aiutare a descriverle e comprenderle meglio. Ecco alcune delle proprietà comuni delle relazioni:
- Riflessiva: Una relazione è riflessiva se ogni elemento dell’insieme di partenza è in relazione con sé stesso. Ad esempio, nella relazione R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} su un insieme A = {1, 2, 3}, ogni elemento è in relazione con sé stesso.
- Simmetrica: Una relazione è simmetrica se per ogni coppia ordinata (a, b) della relazione, anche la coppia ordinata (b, a) fa parte della relazione. Ad esempio, nella relazione R = {(1, 2), (2, 1)} su un insieme A = {1, 2}, se (1, 2) è presente, allora anche (2, 1) è presente.
- Transitiva: Una relazione è transitiva se per ogni coppia ordinata (a, b) e (b, c) nella relazione, anche la coppia ordinata (a, c) fa parte della relazione. Ad esempio, nella relazione R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} su un insieme A = {1, 2, 3}, se (1, 2) e (2, 3) sono presenti, allora anche (1, 3) è presente.
- Antisimmetrica: Una relazione è antisimmetrica se per ogni coppia ordinata (a, b) e (b, a) nella relazione, a = b. In altre parole, se due elementi sono in relazione, non possono essere diversi. Ad esempio, nella relazione R = {(1, 2), (2, 1)} su un insieme A = {1, 2}, se (1, 2) è presente, allora non può esserci (2, 1).
- Antiriflessiva: Una relazione è antiriflessiva se nessun elemento dell’insieme di partenza è in relazione con sé stesso. Ad esempio, nella relazione R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} su un insieme A = {1, 2, 3}, nessun elemento è in relazione con sé stesso.
Le relazioni possono essere classificate in base alle proprietà che possiedono. Di seguito sono elencate le principali classificazioni delle relazioni in base alle loro proprietà:
- Relazione di Equivalenza: Una relazione che è riflessiva, simmetrica e transitiva è chiamata relazione di equivalenza. Questo tipo di relazione suddivide l’insieme di partenza in classi di equivalenza, dove gli elementi all’interno di ciascuna classe sono tutti in relazione tra loro e gli elementi delle diverse classi non sono in relazione. Ad esempio, la relazione di di uguaglianza tra numeri reali è una relazione di equivalenza.
- Relazione d’Ordine: Una relazione che è riflessiva, antisimmetrica e transitiva è chiamata relazione d’ordine. Questo tipo di relazione stabilisce un ordine o una gerarchia tra gli elementi dell’insieme di partenza. Ad esempio, la relazione d’ordine “minore o uguale” sui numeri reali.
Classi di equivalenza e insieme quoziente
Le classi di equivalenza sono raggruppamenti di elementi di un insieme che sono in relazione tra loro secondo una relazione di equivalenza. Quando si ha una relazione di equivalenza su un insieme, essa suddivide l’insieme in diverse classi di equivalenza.
Formalmente, dato un insieme A e una relazione di equivalenza R su A, una classe di equivalenza è un sottoinsieme di A che contiene tutti gli elementi di A che sono in relazione tra loro secondo la relazione R. In altre parole, una classe di equivalenza è costituita da tutti gli elementi di A che sono equivalenti tra loro secondo la relazione di equivalenza.
Ogni elemento di un insieme appartiene a una e una sola classe di equivalenza. Due elementi appartengono alla stessa classe di equivalenza se e solo se sono in relazione. Le classi di equivalenza sono disgiunte, cioè non hanno elementi in comune, e insieme coprono tutti gli elementi dell’insieme di partenza.
Le classi di equivalenza possono essere rappresentate come sottoinsieme dell’insieme di partenza, indicando gli elementi che appartengono a ciascuna classe. Ad esempio, se consideriamo l’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5} e la relazione di equivalenza R definita come “x e y sono in relazione se, divisi per due, hanno lo stesso resto”, le classi di equivalenza sono [1] = {1, 3, 5} e [0] = {2, 4}.
L’insieme quoziente è un concetto legato alle relazioni di equivalenza. Quando si ha una relazione di equivalenza su un insieme, essa suddivide l’insieme in classi di equivalenza. L’insieme quoziente è formato da tutte le classi di equivalenza.
Formalmente, dato un insieme A e una relazione di equivalenza R su A, l’insieme quoziente di A rispetto a R, indicato come A/R o A modulo R, è l’insieme di tutte le classi di equivalenza definite da R sugli elementi di A.
L’insieme quoziente può essere rappresentato come una collezione di tutte le classi di equivalenza, dove ogni classe è rappresentata da un elemento che viene detto rappresentante della classe. Gli elementi di un insieme quoziente sono quindi le classi di equivalenza, e due classi di equivalenza sono considerate uguali se contengono gli stessi elementi.
Consideriamo l’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5} e definiamo la relazione di equivalenza R come “avere lo stesso resto nella divisione per 2“. Questo significa che due numeri sono in relazione se, e solo se, il loro resto nella divisione per 2 è lo stesso.
Ad esempio, 1, 3 e 5 hanno resto pari a 1 nella divisione per 2, quindi sono in relazione. Allo stesso modo, 2 e 4 hanno entrambi un resto 0 nella divisione per 2, quindi sono in relazione.
Le classi di equivalenza risultanti sono:
[1] = {1, 3, 5} (numeri con resto 1 nella divisione per 2)
[0] = {2, 4} (numeri con resto 0 nella divisione per 2)
L’insieme quoziente, indicato come A/R o A modulo R, è quindi dato da: A/R = {[1], [0]}
Dove ogni elemento dell’insieme quoziente è una classe di equivalenza.
In questo caso, l’insieme quoziente A/R è composto da due elementi: la classe di equivalenza [1] che contiene gli elementi 1, 3 e 5, e la classe di equivalenza [0] che contiene gli elementi 2 e 4.
Prendiamo in considerazione un insieme di studenti di una scuola e definiamo la relazione di equivalenza R come “appartenere alla stessa classe“. In questo caso, consideriamo l’appartenenza alla stessa classe come criterio per stabilire la relazione di equivalenza.
Supponiamo di avere gli studenti seguenti:
Marco – 2A
Laura – 2B
Luca – 2A
Sara – Classe B
Giovanni – 2A
Chiara – 2C
Andrea – 2C
Sofia – 2B
Le classi di equivalenza risultanti sono:
[2A] = {Marco, Luca, Giovanni} (studenti della classe 2A)
[2B] = {Laura, Sara, Sofia} (studenti della Classe B)
[2C] = {Chiara, Andrea} (studenti della Classe C)
L’insieme quoziente, indicato come A/R o A modulo R, è quindi dato da: A/R = {[2A], [2B], [2C]}
Dove ogni elemento dell’insieme quoziente è una classe di equivalenza.
In questo caso, l’insieme quoziente A/R è composto da tre elementi: la classe di equivalenza [2A] che contiene gli studenti Marco, Luca e Giovanni, la classe di equivalenza [2B] che contiene gli studenti Laura, Sara e Sofia, e la classe di equivalenza [2C] che contiene gli studenti Chiara e Andrea.
