Una presentazione sintetica dei contenuti del primo libro degli Elementi di Euclide

EUCLIDE, Libro I – 1

Df. I Punto è ciò che non ha parti.

Df. 2 Linea è lunghezza senza larghezza.

Df. 3 Estremi di una linea sono punti.

Df. 4 Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.

Df. 5 Superficie è ciò che ha soltanto larghezza e lunghezza.

Df. 6 Estremi di una superfìcie sono linee.

Df. 7 Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle sue rette.

Df. 8 Angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano, che si toccano e non giacciono in linea retta.

Df. 9 Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo si chiama rettilineo.

Df. I0 Quando una retta innalzata su una (altra) retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.

Df II Angolo ottuso è quello maggiore di un retto.

Df. I2 Angolo acuto è quello minore di un retto.

Df. I3 Termine è ciò che è estremo di qualche cosa.

Df. I4 Figura è ciò che è compreso fra uno o più termini.

Df. I5 Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea (la circonferenza), tale che tutte le rette cadenti su di essa da uno dei punti fra quelli che giacciono internamente alla figura, sono uguali fra loro.

Df. I6 Quel punto si chiama centro del cerchio.

Df. I7 Diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà.

Df. I8 Semicerchio è la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.

Df. I9 Figure rettilinee sono quelle comprese da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese da quattro, e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.

Df. 20 Delle figure trilatere, è triangolo equilatero quello che ha i tre lati uguali, isoscele quello che ha soltanto due lati uguali, e scaleno quello che ha i tre lati disuguali.

EUCLIDE, Libro I – 2

Df. 2I Inoltre, delle figure trilatere, è triangolo rettangolo quello che ha un angolo rettoo, ottusangolo quello che ha un angolo ottuso, ed acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.

Df. 22 Delle figure quadrilatere, è quadrato quella che è equilatera e rettangola (gli angoli tutti retti); oblungo (rettangolo) quella che è rettangola, ma non equilatera; rombo quella che è equilatera, ma non rettangola; romboide quella che ha i lati e gli angoli opposti uguali fra loro, ma non è equilatera ne rettangola. Le figure quadrilatere oltre queste siano chiamate trapezi.

Df. 23 Parallele sono linee rette che, situate nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente da ambedue le parti, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti.

PI Si ammetta di poter condurre una linea retta da un qualsiasi punto da ogni altro punto.

P2 E che una retta terminata (finita) si possa prolungare continuamente in linea retta.

P3 E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (raggio).

P4 E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro.

P5 E che, se una retta cadendo su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti (tali cioè che la loro somma sia minore di due retti), le due rette prolungate illimitatamente si incontreranno da quella parte dove sono gli angoli minori di due retti.

NCI Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro.

NC2 E se cose uguali si aggiungono a cose uguali, le totalità sono uguali.

NC3 E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.

NC4 E cose che coincidono sono fra loro uguali.

NC5 E il tutto è maggiore della parte.

I,I Su una retta terminata data costruire un triangolo equilatero.

I,2 Applicare ad un punto dato una retta uguale ad una retta data.

I,3 Date due rette disuguali, togliere dalla maggiore una retta uguale alla minore.

EUCLIDE, Libro I – 3

I,4 Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati ed hanno uguali gli angoli compresi fra i lati uguali, avranno anche la base uguale alla base, il triangolo sarà uguale al triangolo, e gli angoli rimanenti [del primo] opposti ai lati uguali, saranno uguali ai rispettivi angoli rimanenti [del secondo].

I,5 Nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali fra loro, e venendo prolungati i lati uguali gli angoli sotto la base saranno (pure) uguali fra loro.

I,6   Se in un triangolo due angoli sono uguali fra loro, anche i lati opposti agli angoli uguali saranno uguali fra loro.

I,7   Su una retta data e da ciascun suo estremo si conducano due rette che si incontrino in un punto; non è possibile costruire con gli stessi estremi e dalla stessa parte altre due rette rispettivamente uguali a quelle prima costruite ed aventi un diverso punto d’incontro.

I,8   Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati, ed hanno     anche la base uguale alla base , avranno uguali anche gli angoli compresi dai lati uguali.

I,9   Dividere per metà un angolo rettilineo dato.

I,10 Dividere per metà una retta terminata data.

I,11 Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta  perpendicolare.

I,12 Ad una data retta illimitata, da un punto dato ad essa esterno, condurre una linea retta perpendicolare.

I,13 Se una retta innalzata su un’ altra retta forma degli angoli, essa verrà a tonnare o due angoli retti od angoli la cui somma è uguale a due retti.

I,14 Se per un punto di una retta , da parti opposte rispetto ad essa si tracciano due altre rette, e queste formano con la prima angoli adiacenti la cui somma sia uguale a due retti, esse saranno per diritto fra loro.

I,15 Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro uguali. È da ciò evidente che se due rette si tagliano fra loro, esse formeranno al punto di incontro angoli uguali complessivamente a quattro retti.

I,16 In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni ed opposti.

I,17 In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti.

I,18 In ogni triangolo, a lato maggiore è opposto angolo maggiore.

I,19 In ogni triangolo, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore.

I,20 In ogni triangolo la somma di due lati, comunque presi, è maggiore del lato rimanente.

EUCLIDE, Libro I – 4

I,21 Se su uno dei lati di un triangolo, a partire dagli estremi, si costruiscono due rette che si incontrino internamente al triangolo stesso, le rette così costruite, sommate assieme, saranno [complessivamente] minori dei due rimanenti lati del triangolo pure sommati assieme, ma verranno a comprendere un angolo maggiore.

I,22 Con tre rette uguali a tre rette date, costruire un triangolo: occorre dunque che la somma di due di esse, comunque prese, sia maggiore della rimanente.

I,23 Costruire su una retta data, e (con vertice) in un (dato) punto di essa, un angolo rettilineo uguale ad un angolo rettilineo dato.

1.24 Se due triangoli hanno lati uguali rispettivamente a due lati, ma hanno l’angolo compreso dai lati uguali maggiore dell’angolo corrispondente, avranno anche la base maggiore della base.

1.25 Se due triangoli hanno due lati uguali rispettivamente a due lati, ma hanno la base maggiore della base, avranno anche l’angolo compreso dai lati uguali maggiore dell’ angolo corrispondente.

I,26 Se due triangoli hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli ed un lato uguale ad un lato, o quello (adiacente) agli angoli uguali o quello che è opposto ad uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali rispettivamente ai lati rimanenti, e l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente.

I,27 Se una retta che venga a cadere su altre due rette forma gli angoli alterni uguali fra loro, le due rette saranno fra loro parallele.

I,28 Se una retta che cada su due rette forma 1′ angolo esterno uguale all’angolo interno ed opposto e che è dalla stessa parte, oppure angoli interni, dalla stessa parte, la cui somma sia uguale a due retti, le due rette saranno parallele fra loro.

I,29 Una retta che cada su rette parallele forma gli angoli alterni uguali fra loro, l’angolo esterno uguale all’angolo interno ed opposto, ed angoli interni dalla stessa parte la cui somma è uguale a due retti.

I,30 Rette parallele ad una stessa retta sono parallele anche fra loro.

I,31 Condurre per un punto dato una linea parallela ad una retta data.

I,32 In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tré angoli interni del triangolo è uguale a due retti.

I,33 Rette che congiungano dalla stessa parte rette uguali e parallele sono anch’esse uguali e parallele.

EUCLIDE, Libro I – 5

I.34 I parallelogrammi hanno lati ed angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla diagonale in due parti uguali.

I,35 Parallelogrammi che siano (posti) sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali fra loro.

I,36 Parallelogrammi che siano posti su basi uguali e fra le stesse parallele sono uguali fra loro.

I,37 Triangoli che siano posti sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali fra loro.

I,38 Triangoli che siano posti su basi uguali e fra le stesse parallele sono uguali fra loro.

I,39 Triangoli uguali che siano posti sulla stessa base e dalla stessa parte sono anche (compresi) fra le stesse parallele.

I,40 Triangoli uguali che siano posti su basi uguali e dalla stessa parte sono anche compresi fra le stesse parallele.

I,41 Se un parallelogrammo ha la stessa base ed è compreso fra le stesse parallele da cui è compreso un triangolo, il parallelogrammo è il doppio del triangolo.

I,42 Costruire in un dato angolo rettilineo un parallelogrammo uguale ad un triangolo dato.

I,43 In ogni parallelogrammo i complementi dei parallelogrammi (posti) intorno alla diagonale sono uguali fra loro.

I,44 Applicare ad una retta data, in un dato angolo rettilineo, un parallelogrammo uguale ad un triangolo dato.

I,45 Costruire un parallelogrammo uguale ad una figura rettilinea data in un dato angolo rettilineo.

I,46 Descrivere un quadrato su una retta data.

I,47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo rette è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.

I,48 Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l’angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto.